Только, если подписаны на него. Можно зайти на сайт с того же браузера где авторизован инстаграм http://zasasa.com/en/download_instagram_stories.php и вставить ссылку от профиля инстаграм, потом нужно перейти по другой ссылке, которую покажет сайт и скопировать код, ввести этот код в окно на сайте и можно скачивать истории и хайлайтс с закрытого аккаунта. А на главной странице сайта, есть раздел для скачивания фотографий.

расширение для гугл хром браузера Downloader for instagram, скачивает фото и истории в удобном формате, появляется надпись скачать в верхнем левом углу фотографии. Так же есть вариант, через сайт instagrab.ru, просто вводите ссылку с поста и качаете фотографии.

Какой способ и что за network?

У меня пишут приватный форум и доступ запрещён. А скачивать из инстаграма нельзя до сих пор.